Question posée dans groupe matheux

[Mohamed AL]

On considère l'íntégrale : $\quad I=\int_0^1 \frac{e^x}{1+x} d x$
1) a) Montrer que: $\left(\forall t \in \mathbb{R}^{+}\right) 1-t \leq e^{-t} \leq 1$
b) En déduire que pour tout $x \in[0,1]$ : $1-x \leq e^{-x} \leq 1-x+\frac{x^2}{2}$
2) a) Vérifier que pour tout $x \in[0,1]$ :$\frac{x^4}{1+x}=x^3-x^2+x-1+\frac{1}{1+x}$
b) En déduire que : $\frac{1}{2} \leq I \leq \frac{5}{24}+\frac{\ln 2}{5}$
Posée au lien: https://www.facebook.com/groups/Mathpur ... %2CO%2CP-R dans le groupe groupe matheux.
Cet énoncé est faux car c'est aisé de prouver que $\frac 12 >\frac{5}{24}+\frac{\ln 2}{5}$
En effet $\frac 12 >\frac{5}{24}+\frac{\ln 2}{5}$ est équivalent à $\ln(2) < 5\left(\frac 12-\frac{5}{24}\right)$ équivalent à $\ln(2) < \frac{35}{24}$, chose vraie car $\ln(2) < 1$.