Application dont la différentielle est antisymétrique

[Mohamed AL]

On munit $\R^n$ de son produit scalaire canonique. Determiner toutes les applications $f:\R^n\to\R^n$ tel que pour tout $x\in \R^n$, la matrice jacobienne $J_f(x)$ au point $x$ soit antisymétrique.

[Mohamed AL]

$\def\dr#1#2{\frac{\partial #1}{\partial #2}}$
On note $f_1,\dots,f_n$ les composantes de $f$. Pour tout $i,j,k\in \{1,\dots, n\}$, on a $\dr{}{x_k}{\dr{f_j}{x_i}}=-\dr{}{x_k}{\dr{f_i}{x_j}}$ et par le théorème de Shwarz, il en découle que $\dr{}{x_k}{\dr{f_j}{x_i}}=-\dr{}{x_j}{\dr{f_i}{x_k}}$, donc compte tenu de l'hypothèse sur la matrice jacobienne, on a $\dr{}{x_k}{\dr{f_j}{x_i}}=\dr{}{x_j}{\dr{f_k}{x_i}}$; encore par Shcwarz, $\dr{}{x_k}{\dr{f_j}{x_i}}=\dr{}{x_i}{\dr{f_k}{x_j}}=-\dr{}{x_i}{\dr{f_j}{x_k}}=-\dr{}{x_k}{\dr{f_j}{x_i}}$. On a donc démontré que $$\forall i,j,k \in\{1,\dots,n\}, \quad \dr{}{x_k}{\dr{f_j}{x_i}}=-\dr{}{x_k}{\dr{f_j}{x_i}}$$ donc la jacobienne est une matrice constante antisymétrique $A$ et par suite $f(x)=u(x)+b$ avec $u$ un endomorphisme antisymétrique et $b$ un vecteur constant. Matériellement : $f(X)=AX+B$ avec $A\in\mca_n(\R)$ et $B\in \mcm_{n,1}(\R)$