Convergence simple et uniforme d'une suite de fonctions

[Mohamed AL]

Question: Soit $(f_n)$ la suite de fonctions définie par $f_n(x)=nxe^{-nx}+ \arcsin(x)$ pour tout $x\in[-1,1]$. Etudier la convergence simple et uniforme de la suite $(f_n)$ sur $[-1,1]$ et d'éventuelles parties de $[-1,1]$.

Réponse: Commençons par étudier la convergence simple:

• Si $x=0$ alors pour tout $n\in \N$, on a $f_n(x)=f_n(0)=0$, donc $\limni f_n(0)=0$.
• Si $0<x < 1$ alors pour tout $n\in \N^*$, on a $\ln(nxe^{-nx})=\ln(n)+\ln(x)-nx=n\left(-x+\frac{\ln(n)}{n}+\frac{\ln(x)}{n}\right)$. Comme $\limni \left(-x+\frac{\ln(n)}{n}+\frac{\ln(x)}{n}\right)=-x < 0$, on a $\limni(\ln(nxe^{-nx}))=-\infty$, par suite $\limni (nxe^{-nx}))=0$ et $\limni f_n(x)=\arcsin(x)$.
• Finalement si $-1\leq x < 0$, alors il est clair que $\limni f_n(x)=-\infty$

Il découle de ce qui précéde que la convergence simple a lieu seulement sur $[0,1]$ et que $(f_n)$ converge simplement vers $f$ définie par $f(x)=\arcsin(x)$ pour tout $x \in [0,1]$.


Passons à la convergence uniforme, pour cela

• considérons la fonction $g_n$ définie sur $[0,1]$ par $g_n(x)=|f_n(x)-f(x)|=nxe^{-nx}$, laquelle est dérivable et $g_n'(x)=n(1-nx)e^{-nx}$, donc $\al_n=\sup\limits_{x \in [0,1]} g_n(x)=g_n\left(\frac 1n \right)=\frac 1e$ et par suite $(\al_n)$ ne converge pas vers $0$, quand $n$ tend vers $\i$ et la convergence uniforme n'a pas lieu sur $[0,1]$.
• Soit $a\in]0,1[$. L'étude qui précéde montre que $g_n$ est décroissante sur $[\frac 1n,1]$ Donc pour tout $n > a$, on peut dire que $g_n$ est décroissante sur $I_a=[a,1]$, donc si on note $N=\left\lfloor\frac 1a\right\rfloor$, on a pour tout $n \geq N$, on a $\al_n=\sup\limits_{x\in [a,1]} g_n(x)=g_n(a)=ae^{-na}$, donc $\limni \al_n=0$ et on a convergence uniforme de $(f_n)$ sur tout segment de la forme $[a,1]$ pour tout $a \in ]0,1[$.