Fonction de répartition

[Mohamed AL]

Question:
Soit $X$ une variable aléatoire sur un espace probabilisé $(\Omega,T,\P)$ tel que $X(\Omega)\subset \N$. Démontrer que la fonction $g$ définie par $g(t)=\P(x > t)$ est continue par morceaux sur $\R$.

[Mohamed AL]

Réponse:
Soit $t$ un nombre réel quelconque.

• Remarquons que si $t\in]\mi,0[$ alors $(X > t)=\Om$ car pour tout $\om\in\Om$, on a $X(\om)\in\N$, donc $\forall \om\in\Om, X(\om > t$. Il en découle que $\forall t\in ]\mi,0[, X(\om) > t$.
• Si $t\in[0,\i[$ alors il existe un et un seul $n\in\N$ tel que $n \leq t < n+1$. Il en découle que $(X > t)=(X \geq n+1)$, donc $g$ est constante sur tout intervalle de la forme $I_n=[n,n+1[$ avec $n\in \N$.
• Finalement, $g$ est constante sur $]\mi,0[$ et sur tout intervalle de la forme $I_n=[n,n+1[$ avec $n\in\N$, donc elle est continue par morceaux sur $\R$.