topologie non triviale et non séparée

[Mohamed AL]

1. Vérifier que $(\R,\{\emptyset,\R,\N\})$ est un espace topologique dans le quel tout voisinage $V$ de $1$ et tout voisinage $W$ de $2$ vérifient $V\cap W\neq\emptyset$.
2. 1. Soit $\mct=\{]-n,n[/n\in \N\cup\{\i\}\}$
   2. Vérifier que $\mct$ est une topologie de $\R$.
   3. Soit $x\in]-1,1[$. Quels sont les voisinages de $x$ ?
   4. Conclure qu'il existe deux points $x,y\in \R$ tel que $x\neq y$ et tout les soisinages respectifs de $x$ et $y$ sont non disjoints.
   5. Déterminer la partie $\mathfrak M$ de $\R^2$ définie par: $$\mathfrak M=\{(x,y)\in \R^2/\forall v\in \mcv(x),\forall w \in \mcv(y), v\cap w \neq \emptyset\}$$