Primitive

[Mohamed AL]

Soit $(a,b)\in \R^2$ un couple donné de nombres réels et $f$ la fonction définie par:$$\forall x \in \R, f(x)=\frac{ax+b}{x^2+x+1}.$$ Quelles sont les primitives de la fonction $f$ sur $\R$?

[Mohamed AL]

Si $a=b=0$ alors $f$ est nulle donc $F(x)=c$ où $c$ est une constante réelle quelconque.
Si $a=0$ et $b\neq 0$ alors $f(x)=\frac{b}{(x+1/2)^2+3/4}=\frac{2b}{\sqrt 3}\frac{\frac{2}{\sqrt 3}}{1+\left[\frac{2}{\sqrt 3}(x+\frac 12)\right]^2}$, donc $$F(x)=c+\arctan\left( \frac{2}{\sqrt 3}(x+\frac 12)\right) $$
Si $a\neq 0$ on a $f(x)=a\frac{x+\frac 12+\frac ba-\frac 12}{x^2+x+1}=\frac a2 \frac{2x+1}{x^2+x+1}+(b-\frac a2) \frac{1}{x^2+x+1}$
Donc $$F(x)=(b-\frac a2)\arctan\left( \frac{2}{\sqrt 3}(x+\frac 12)\right)+\frac a2 \ln(x^2+x+1)+c $$