Exercice 05, chapitre 01, Al Moufid

[Mohamed AL]

Un exemple d'exercice pour faire des calculs et acquérir le long souffle

[Mohamed AL]

L'important dans la résolution des questions de l'exercice c'est de ne pas se tromper, faire des calculs exacts de préférence au premier coup ...

[Mohamed AL]

Si le but de cet exercice est de prouver que $\forall n\in \Z, A^{12n}\in\R$, voici une suggestion de travail qui n'utilise pas trop de calculs. On commence par donner le rappel suivant qui, sera l'élément le plus important sur lequel se base la réponse. On peut bien sûr proposer de demander à l'étudiant de le redémontrer mais je ne vois pas l'utilité dans notre contexte. On commence donc comme suit:
On rappelle que si $x\in \R$ et $\frac x2\neq \frac{\pi}{2}+k\pi$ pour tout $k\in \Z$ alors si on pose $t=\tan(\frac x2)$ on a $\sin(x)=\frac{2t}{1+t^2}$ et $\cos(x)=\frac{1-t^2}{1+t^2}$ et $\tan(x)=\frac{2t}{1-t^2}$.
Cela dit, on présente les données de l'exercice:
On considère le nombre complexe $A=-1+i(2-\sqrt 2)$.
On peut de mander dans une première question
1) Calculer $|A|$. On note $\theta=\mathrm{Arg}(A)$, c'est-à-dire que $\theta\in ]-\pi, \pi]$ et $A=|A|e^{i\theta}$.
Ensuite on peut utilise le rappel, on remarquant que $e^{i\theta}=\cos(\theta)+i\sin(\theta)$ peut s'exprimer à l'aide de $\tan(\theta)$. On pose alors:
2) Calculer $\tan(\theta)$ et en déduire que $\tan(2\theta)=-\tan(\frac{\pi}{6})$.
Cela permet d'identifier l'argument et on passe donc à son calcul et la déduction qui finit l'exercice, ce qui sera l'obejet de la troisième et dernière question.
3) En déduire $\theta$ et prouver qu'en particulier, on a $\forall n\in \Z, A^{12n}\in\R$,