Matrice nilpotente et trace

[Ahmed]

Comment démontrer que si $A\in\mcm_n(\C)$ est une matrice de $\mcm_n(\C)$ tel que:
$$\forall k\in [\![1,n]\!],\quad \text{tr}(A^k)=0$$ alors $A$ est nilpotente ?

[Mohamed AL]

Indication: Si on note $\la_1,\dots,\la_n$ les valeurs propres de $A$, les valeurs propres de $A^k$ sont $\la_1^k,\dots, \la_n^k$, et compte tenu de l'hypothèse $\tr(A^k)=0$, on a $\tr(A^k)=\sum\limits_{i=1}^n \la_i^k=0$. On considère la matrice $M=(m_{i,j})_{1\leq i,j \leq n}\in \mcm_n(\C)$ tel que $m_{i,j}=\la_i^{j}$, on voit que si on pose $V=(v_i)$ avec $v_i=1,\fa i\in \{1,\dots, n\}$, $MV=0$, donc $\det(M)=0$. On a en observant l'existence d'un déterminant de Vandermonde: $\det(M)=\prod\limits_{1\leq k\leq n}\la_k\prod\limits_{1\leq i < j < n}(\la_j-\la_i)$