Probabilité: Bernoulli avec Omega infini

[Mohamed AL]

Question: Soit $\Omega=\N^*$, $\mct=\mcp(\N^*)$ et $\P$ définie par $\P(A)=\frac{6}{\pi^2}\sum\limits_{n\in A}\frac{1}{n^2}$. Soit $X$ la variable aléatoire définie par $X(n)=r$ avec $r$ le reste de la division euclidienne de $n$ par $2$. Démontrer que $X\suit \text{Ber}(p)$ où le paramètre $p$ est à déterminer. Cet exemple illustre un cas où $\Om$ est infini et une variable aléatoire suit la loi de Bernoulli, pour ne pas croire que Bernoulli est seulement pour les ensembles finis.

Réponse: Pour le calcul de $p$, on a $p=\P(X=1)=\P(2\N+1)=\frac{6}{\pi^2}\sum\limits_{k=0}^\i\frac{1}{(2k+1)^2}=\frac{6}{\pi^2}\left(S-\frac 14 S\right)$ où $S=\sum\limits_{n=1}^\i\frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}$, donc $p=\frac 34$.