Génération des rationnels par une fonction

[Mohamed AL]

Pour tout $x\in\R$, on note $\{x\}=d(x,\Z)=\min(x-\lfloor x \rfloor,1+\lfloor x \rfloor-x)$ et on note $f(x)=\frac{1}{1+\lfloor x \rfloor-\{x\}}$. La suite définie par: $$\left\{\begin{array}{l}u_1=1\\ \forall n\in \N^*, u_{n+1}=f(u_n)\end{array}\right.,$$ a l'air de pouvoir générer tous les rationnels strictement positifs. Est ce vrai ?