Fonction sans primitive

[Mohamed AL]

Question: Démontrer que si $f$ est l'application définie par $f:[0,2]\to\R; x\mapsto\left\{\begin{array}{lr}0&\text{si}&0\leq x < 1 \\ 1&\text{si}&1\leq x \leq 2\end{array}\right.$ alors $f$ n'admet pas de primitive sur le segment $[0,2]$.

Réponse: Si $F$ est une primitive de $f$ sur $[0,2]$, alors il existe deux constantes réelles $c_1$ et $c$ tel que $$\forall x \in [0,2],\quad F(x)=\left\{\begin{array}{lr}c_1&\text{si}& 0\leq x <1\\x+c &\text{si} &1\leq x \leq 2\end{array}\right..$$ Par continuité de $F$ au point $1$, on a $c_1=1+c$, donc : $$\forall x \in [0,2],\quad F(x)=\left\{\begin{array}{lr}c+1&\text{si}& 0\leq x <1\\x+c &\text{si} &1\leq x \leq 2\end{array}\right..$$ Comme $F$ est une primitive de $f$ sur $[0,2]$, elle est dérivable sur $[0,2]$, donc $F$ est dérivable au point $1$, donc ses dérivées à droite et à gauche au point $1$ sont égales. Or: $F_g'(1)=\lim\limits_{x\to 1^-}\frac{F(x)-F(1)}{x-1}=\lim\limits_{x\to 1^-}\frac{c}{x-1}$, donc $c=0$ (sinon la limite serait $\pm\ii$) et alors $F_g'(1)=0$. Par ailleurs, $F_d(1)=1$, ce qui contredit l'existence de $F'(1)$, puisque $F$ est dérivable au point $1$, donc $F$ n'existe pas.