Une propriété de la moyenne de deux nombres réels

[Mohamed AL]

La moyenne de deux nombres réels a le même signe que celui d'entre eux plus loin de l'origine. On formalise ceci comme ça: Pour tous nombres réels $a,b,c$, si $a=\frac{b+c}{2}$ et $|c| \leq |b|$ alors $ab \geq 0$. Voici une preuve: On a $ab=\frac 12(b^2+bc)$ et $b^2+bc=|b|^2+bc=|b|.|b|+bc \geq |b||c|+bc= |bc|+bc \geq 0$.
Une autre méthode: On a $2a=b+c$, donc $c=2a-b$, donc $c^2=4a^2+b^2-4ab$, ce qui donne $4ab=\underbrace{b^2-c^2}_{\geq 0,\, \text{car} \, |c|\leq |b|}+4a^2$, donc $ab\geq a^2$, et en particulier $ab \geq 0.$