endomorphisme diagonalisable et stabilité

[Mohamed AL]

Si $E$ est un $\C$ espace vectoriel de dimension finie non nulle, un endomorphisme $u$ est diagonalisable si et seulement si tout espace vectoriel $F$ stable par $u$ admet un supplémentaire stable par $u$. Est ce que cette propriété est vraie si on remplace le corps $\C$ par le corps $\R$ ?